Что измеряет стандартное отклонение
Среднее арифметическое описывает центр ряда, но не сообщает, насколько отдельные результаты удалены от этого центра. Стандартное отклонение дополняет среднее мерой разброса.
Если результаты записаны в очках, стандартное отклонение тоже записывают в очках. Если измеряются секунды, его единицей будут секунды. Поэтому показатель можно непосредственно сопоставлять с обычным отклонением результата от среднего.
Учебный пример: четыре результата в очках
Пусть в четырёх условных попытках получены результаты 10, 12, 14 и 16 очков. Среднее равно (10 + 12 + 14 + 16) / 4 = 13 очков.
Отклонения от среднего равны −3, −1, 1 и 3. Их квадраты: 9, 1, 1 и 9. Сумма квадратов отклонений равна 20.
Для выборочного стандартного отклонения выборочную дисперсию считают как 20 / (4 − 1) = 20 / 3 ≈ 6,67. Затем извлекают квадратный корень: √6,67 ≈ 2,58. Выборочное стандартное отклонение этой серии — примерно 2,58 очка.
| Результат, очки | Отклонение от среднего 13 | Квадрат отклонения |
|---|---|---|
| 10 | −3 | 9 |
| 12 | −1 | 1 |
| 14 | 1 | 1 |
| 16 | 3 | 9 |
Почему в выборке стоит n−1
Для выборочной дисперсии используется знаменатель n−1, где n — число наблюдений. В учебном примере n = 4, поэтому знаменатель равен 3, а не 4. Среднее уже оценено по тем же наблюдениям: их отклонения суммируются в ноль, и после выбора n−1 отклонений последнее определяется остальными. Деление на n−1 даёт стандартную несмещённую оценку дисперсии при независимых наблюдениях из одной совокупности; сам квадратный корень не обязан быть несмещённой оценкой.
При одном наблюдении n−1 равно нулю, поэтому выборочное стандартное отклонение для n = 1 не определено. Одного результата недостаточно, чтобы измерить разброс серии этим способом.
Чем показатель отличается от размаха и от границы результата
Размах в той же серии равен максимуму минус минимум: 16 − 10 = 6 очков. Он использует только два крайних результата. Стандартное отклонение использует все наблюдения и их расстояния от среднего.
Стандартное отклонение около 2,58 очка не означает, что каждый следующий результат обязан попасть в какой-либо фиксированный интервал вокруг 13. Это описание уже записанной серии, а не обязательная граница будущих результатов.
При сравнении двух серий нужно использовать одну величину в одинаковых единицах и при одинаковых правилах отбора результатов. Иначе разница может отражать не разброс, а различие в составе записей.